Fractalii - Vânătoarea dimensiunii ascunse

Postul de televiziune PBS (Nova) a difuzat în 28 octombrie 2008, un documentar fascinant, Hunting the Hidden Dimension, ca un elogiu binemeritat adus unui matematician de geniu, Benoit Mandelbrot, care a impus, începând cu anul 1975, dar, mai ales, ca autor al cărţii "The Fractal Geometry of Nature", un nou domeniu al matematicii, geometria fractală, ale cărei prezenţe în viaţa cotidiană şi aplicaţii diverse, de nebănuit, sunt revelate, în parte, de acest film.

S-ar putea să nu ştiţi, dar fractalii, la fel ca aerul pe care-l respirăm, sunt peste tot în jurul nostru, formele lor neregulate, repetitive, putând fi descoperite în formaţiunile noroase şi ramurile copacilor, în broccoli şi în culmile aspre ale munţilor şi, chiar, în ritmurile inimii umane, Nova purtându-ne în film printr-o aventură uimitoare, cu ajutorul unui grup de matematicieni rebeli, hotărâţi să descifreze regulile ce guvernează geometria fractală.

Timp de secole, formele neregulate, fractale, au fost considerate a fi dincolo de frontierele posibile ale cunoaşterii matematice, fiind categorisite drept "monştri" lipsiţi de orice aplicabilitate practică, fiind imaginaţi şi studiaţi iniţial de matematicieni ca Georg Cantor, Karl Weierstrass şi Felix Hausdorff, ca fiind funcţii continue dar nediferenţiabile, şi abandonaţi, ulterior, fiindcă nu li se putea găsi o explicaţie în contextul limitatei geometrii euclidiene.

Un fractal matematic se bazează pe o ecuaţie ce este supusă unei iteraţii, o formă de conexiune inversă, repetitivă.

Există multe exemple de fractali, care sunt descrişi ca având proprietăţi de auto-asemănare, cvasi auto-asemănare sau auto-asemănare statistică.

Deşi sunt pure construcţii matematice, fractalii pot fi descoperiţi în natură, fapt pentru care au fost incluşi şi în opere de artă, având aplicaţii curente în medicină, seismologie şi analize tehnice din domenii diverse.

Un fractal are, adesea, următoarele caracteristici:

- are o structură foarte complexă la scări oricât de mici, arbitrar alese;

- este prea neregulat pentru a putea fi descris, cu uşurinţă, în limbajul euclidian tradiţional;

- prezintă auto-asemănare (aproximativă şi aleatorie);

- are o dimensiune Hausdorff, care este mai mare decât dimensiunea sa topologică;

- are o definiţie simplă, repetitivă.

Deoarece arată similar, la toate nivelele de amplificare, fractalii sunt consideraţi, adeseori, ca fiind figuri geometrice  infinit de complexe.

Obiectele naturale, ce pot fi aproximate de fractali, includ: norii, culmile muntoase, fulgerele, liniile costiere, fulgii de zăpadă, diverse vegetale (ca broccoli sau conopida), anumite tipare de culoare întâlnite în lumea animală ş.a.m.d.

Imagini de fractali pot fi generate, automat, de programe computerizate, dar, deşi poartă această denumire generică, nu manifestă toate caracteristicile meţionate anterior, cum ar fi, de exemplu, păstrarea auto-asemănării la orice nivel de amplificare.

Matematica ce stă la baza fractalilor a început să se contureze în secolul al XVII-lea, când matematicianul şi filozoful Gottfried Leibniz a remarcat primul auto-asemănarea repetitivă, deşi el a comis eroarea de a considera că doar linia dreaptă are această proprietate.

Abia la 1872 a fost creată o funcţie matematică, a cărei reprezentare grafică poate fi considerată a fi fractală, când Karl Weierstrass a dat un exemplu de funcţie neintuitivă, continuă dar nediferenţiabilă.

În 1904, Helge von Koch, nesatisfăcut de definiţia abstractă şi analitică a lui Weierstrass, a dat o definiţie mai mult geometrică unei funcţii similare, cunoscută astăzi sub numele de curba lui Koch.

Funcţii iterative plane, complexe, au fost de asemenea investigate, la sfârşitul secolului al XIX-lea şi începutul secolului XX, de Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou şi Gaston Julia, dar fără sprijinul grafic al unui computer modern, totuşi, ei nu au avut posibilitatea vizualizării frumuseţii matematice a multor funcţii pe care le-au descoperit.

În anii '60, Benoit Mandelbrot a început să studieze proprietăţi ca auto-asemănarea, în articole precum: "Cât de lungă, este linia costieră a Marii Britanii" şi "Auto-asemănarea statistică şi dimensiunea fracţională", care se bazau pe descoperiri, mai timpurii, ale matematicianului Lewis Fry Richardson.

Într-un final, în 1975, Mandelbrot inventează termenul de "fractal", pentru a diferenţia un obiect a cărui dimensiune, Hausdorff–Besicovitch este mai mare decât dimensiunea sa topologică, ilustrându-şi spusele şi definiţiile matematice cu vizualizări computerizate şocante, imagini bazate pe definiţii recursive, ce au captat atenţia publică şi au impus definitiv termenul de "fractal".

Graţie fantasticei opere a lui Mandelbrot, care a regândit dimensiuni vitale, intuind ordinea din dezordine, matematicienii încep, astăzi, să le întrevadă potenţialul enorm, aventurându-se într-un teritoriu necartografiat al unor deocamdată enigme ale matematicii şi vieţii, descoperirile lor remarcabile adâncind cunoştinţele noastre asupra naturii şi stimulând un nou val de inovaţii ştiinţifice, medicale şi artistice, mergând de la ecologia ameninţatei păduri tropicale, la efectele speciale cinematografice şi moda vestimentară.

Prin contribuţia unor astfel de minţi iscoditoare şi perfect intuitive, ale unor rebeli ai ştiinţei, ca Halton C. Arp, Benoit Mandelbrot şi Nassim Haramein, avem astăzi explicaţii pentru tot ceea ce părea, cândva, a fi un haos, revelaţiei uimitoare a unui Univers holografic şi fractal urmându-i, firesc, cea a unei naturi deloc aleatoare, ce poate fi cuprinsă în ecuaţii şi formule matematice riguroase, spulberându-se, astfel, orice dubiu în prezenţa unei Minţi Supreme, ce a imaginat totul, în cel mai mic şi aparent insignifiant, amănunt.

Auto excluşi din climatul, competitiv şi agresiv al ştiinţei contemporane, care elimină imaginaţia şi glorifică încremenirea paradigmei curente, astfel de oameni au fost constant atacaţi de "savanţii" obtuzi, fabricaţi şi acceptaţi de sistem, incapabili să perceapă noul, dovada suplimentară că trăim şi încă mai respirăm într-o lume care blochează, constant, progresul, un geniu ca Mandelbrot fiind aproape strivit de indiferenţa, dispreţul şi chiar agresivitatea colegilor mediocri, care i-au categorisit opera ca o "creaţie a unui computer stupid".

Documentarul are, desigur, unele limite, precum promovarea teoriei evoluţioniste ca bază a dezvoltării fractale a lumii naturale, sau invocarea dioxidului de carbon din atmosferă ca explicaţie a "încălzirii globale", dar dincolo de astfel de ficţiuni, incomplet demitizate în lumea de azi, filmul are meritul incontestabil de a recunoaşte un deschizător de drumuri, ca Benoit Mandelbrot şi chiar de a strecura, în context, mici proteste la adresa sistemului oficial, amintindu-se, oarecum în trecere, de ameninţările cu tăierea fondurilor de cercetare ale unui cardiolog, ce a intuit posibilităţile de diagnoză deschise de fractali.

"Norii nu sunt sferici, munţii nu sunt conici, liniile de coastă nu au nimic circular în ele şi nici fulgerul nu călătoreşte în linie dreaptă...", argumentează Mandelbrot în cartea sa revoluţionară: "Geometria fractală a naturii" şi, dimpotrivă, spune el, "formele naturale ca şi multe creaţii umane, au forme brute, neregulate."

Pentru a studia şi învăţa din această dezordine, pentru care a inventat termenul de fractal (provenit din termenul latin fractus - ce înseamnă rupt, fracturat), Mandelbrot a imaginat un nou gen de matematică vizuală, bazată tocmai pe astfel de forme neregulate, geometria fractală, total diferită de geometria euclidiană pe care am învăţat-o în şcoli, cu aplicaţii în metalurgie, cosmologie, medicină, artă ş.a.m.d. şi a explicat, într-un interviu acordat postului de televiziune Nova, de ce se consideră, el însuşi, a fi un filozof şi de ce a refuzat orice avantaj material provenit din fractali, o dată ce au devenit atât de populari.

"Am auzit adesea, fractalii, fiind descrişi ca imagini simpatice, dar cam inutile...", îşi aminteşte Mandelbrot, deşi aplicaţiile actuale ale acestora, afirmă tot el, "sunt atât de numeroase şi în domenii atât de diverse, că nu-ţi vine să crezi."

În ciuda succesului său actual, Benoit Mandelbrot a rămas acelaşi rebel, ce a refuzat să-şi asume paternitatea tuturor ideilor magnifice izvorâte din cercetarea sa fundamentală, preferând să se izoleze şi motivându-şi, astfel, alegerea:

"Ei bine, de exemplu, setul Mandelbrot a avut un succes uriaş. Într-un an, milioane de oameni s-au implicat în studierea lui. M-am simţit total depăşit de numărul şi tenacitatea lor. Pe de altă parte, prefer singurătatea. În fapt, mă simt arareori confortabil într-o mulţime, fiindcă mulţimile au o organizare a lor, pe date, tradiţii şi experienţe comune. Şi eu nu prea arăt a matematician. Nu arăt nici a fizician şi nici măcar ca un critic de artă. Există o mare putere în a fi un străin, dacă poţi contribui cu ceva nou."

Hunting the Hidden Dimension (torrent)

Subtitrare